第12章 世界上最古老的数学巨著

　　第十一章世界上最古老的数学巨著：《几何原本》

　　2000多年前的数学著作，至今还作为范本在世界各地的中学里传授，如此地位牢固经久不变

　　，就惟有欧几里得的《几何原本》了。此书自从公元前3世纪问世，就长期作为几何学的第

　　一教科书，世界各地用各种文字出版了它的上千种版本，注释诠解性文章不计其数，其流传

　　之广、影响之深，不亚于基督教的《圣经》。

　　数学学派集大成作

　　欧几里得约生于公元前365年，生平事迹已难以考证，曾投学于柏拉图门下，而后生活和工

　　作于埃及的亚历山大城。

　　《几何原本》这部如此辉煌巨著，其出现并非偶然，公元前3世纪的亚历同大城是当时地中

　　海东部的经济、科学与文化的中心，这里建有称誉世界的藏书70万卷的图书馆，以及博物馆

　　、实验室、天文台等文化科学设施。当时有大批数学家在亚历山大工作，他们的一些独创性

　　著作，直到今天仍然闪闪发光。其中，应托勒密一世之邀，前来亚历山大城主持数学学派的

　　欧几里得，便是一位“集大成”式的杰出数学家。

　　在此之前许多人为他作出了大量的前驱工作。首先是古埃及人在年复一年的重新测量洪水泛

　　滥过的土地过程中积累了丰富的土地测量知识，而后古希腊数学家对这些几何知识进行了初

　　步的整理。最早的古希腊数学家泰勒斯约在公元前600年开始了对数学命题的证明，使几何

　　能成为一门演绎的科学迈出了第一步。接着毕达哥拉斯用数来解释一切，将数学从具体的事

　　物中抽象出来，建立了一些数学的理论，发现了勾股定理、不可通约量，为早期几何学增添

　　了不少内容。随后的欧多克斯学派创立了比例论，用公理法建立理论，使得比例也适用于不

　　可通约量，扩大了几何学的应用范围。数学也得到了古希腊哲学家们的重视，柏拉图特别强

　　调数学在训练智力方面的作用，他的学园大门上写着：“不懂几何学者不得入内”。柏拉图

　　和亚里士多德等人还发展了与几何学密切相关的形式逻辑。在柏拉图对概念、推理与判断的

　　研究基础上，亚里士多德建立了三段论演绎法，对同一律、矛盾律和排中律作出了明确的表

　　述。所有这些工作都为欧几里得撰写《几何原本》铺平了道路。

　　欧几里得发奋研究，辛勤工作，约在公元前330年至前320年间，写成了数学巨著《几何原本

　　》，在前人的基础上建立起了一个体系严谨、论述精辟的几何学大体系。

　　欧几里得《几何原本》的原稿早已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释

　　本和翻译本重新整理出来的。流传最广的版本是4世纪末的泰恩所做出的《几何原本》修

　　订本。最接近原著的版本被认为是19世纪初在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄本。根据1842

　　年至19世纪末的统计，《几何原本》用各种文字已经出版了1000多种版本。有些版本的末尾

　　增添了两卷内容，因此《几何原本》又有15卷之说。

　　第一部的《几何原本》中文译本是根据德国数学家克拉维斯的注本翻译的，由传教士利玛窦

　　口译，徐光启笔受，只译出前6卷，1607年在北京刻版出版。200多年后，清末数学家李善兰

　　与英国人伟烈亚力通力合作，才把《几何原本》后9卷全部译出，并于1858年出版。

　　《几何原本》数学全书

　　欧几里得著的《几何原本》共13卷，内含119个定义、5条公设和5条公理，前后推出467个命

　　题。它重点论述几何学，也有部分篇章专门论述数论、无理量等问题，纵观全书，无疑它是

　　当时的数学全书。

　　《几何原本》从卷一到卷四主要论述平面几何直线形与圆的有关命题。卷首先给出若干定义

　　、公设和公理，然后逐条展开命题的论述与证明。部分内容是前人经验的精心总结，如：“

　　命题47，在直角三角形里，对着直角的边上的正方形等于夹着直角的两边上的两个正方形之

　　和”。“命题48，在三角形内，如果一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，那么其

　　他两边所夹的角必为直角”。这即是毕达哥拉斯定理(勾股定理)的正命题与逆命题。有些内

　　容则是作者本人的创举，如著名的第五公设：“若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内

　　角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”。许多命题至今仍是中学几

　　何的定理或定则，如：“命题4，若一个三角形的两边和它们的夹角相应地等于另一个三角

　　形的两边和其夹角，则这两个三角形全等。”

　　卷五专讲比例理论，适用于可公度的量或不可公度的量。用比例理论把几何学置于坚实的基

　　础之上是古希腊数学的突出成就，该卷内容尽管是在前人欧多克斯工作的基础上展开的，但

　　欧几里得最早对比例理论进行系统的安排与证明，其贡献是巨大的。

　　卷六讲相似图形。如：“命题1，等高三角形面积之比等于它们底长之比”。“命题19，相

　　似三角形面积之比等于它们对应边之比的平方”。“命题31，直角三角形中，对着直角的边

　　上图形的面积等于夹着直角的两边上的相似图形面积的积”。命题31，实际上就是勾股定理

　　的扩充。

　　卷七至卷九讨论整数的性质和整数的比，属于初等数论内容。在这部分里，欧几里得用线段

　　代表数，以矩形面积代表两数之乘积来展开论述。如：“定义16，两数相乘所得的数称为平

　　面，它的边长是原来的两数”；“定义17，三数相乘相得的数称为立体，它的边长是原来的

　　三个数”。许多数论的命题是相当严谨的，如卷九“命题14，如果一个数是能被几个素数除

　　尽的最小的数，那么除了这几个素数之外，再也没有其他的素数能够除尽那个数了”。

　　卷十研究不可公度量的、涉及直线的可公度量与不可公度量的关系。主要研究可用a±b(a,b是两条可公度的直线)表示的各种直线。如：“定义4，已知直线上的正方形是可比的，任何与它可公度的面积是可比的；任何与它不可公度的面积是不可比的，并且它们的边长的度亦是不可比的。”

　　卷十一至卷十三讨论立体几何学，包括直线、平面、直线与平面间的关系、平面与平面间的

　　关系、多面角、相似立体、柱、锥、台、球，以及正多面体等内容。

　　几何公理权威巨著

　　欧几里得将前人生产实践中和科学研究中长期积累的几何知识，加以整理总结，形成演绎体

　　系，写出了历史上理论严密、系统完整的第一部数学著作《几何原本》。

　　《几何原本》过去一直以手抄本的形式流传，几个世纪中，许多数学工作者对它进行了大量

　　的注释和评论。尽管欧几里得受当时重理念、轻实践的哲学思想的影响，《原本》中全部是

　　象的定义、公理和定理，没有解决实际问题的内容，但由于它有严谨的理论体系，因此在数

　　学教育和数学研究上仍然受到人们的重视。12世纪以后，《几何原本》被采用为大学教材。

　　公元1500年左右印刷术出现后，这部著作迅速大量翻印，出现了1000多种版本，其发行数量

　　与传播之广，仅次于《圣经》，成为西方世界历史上翻版和研究最多的书。在17、18世纪，

　　欧几里得的著作是西方数学教学的基础。《几何原本》曾长期“牢牢”地控制了几何教学，

　　以致于瑞典诗人G·M·贝尔曼写道：“甚至到现在一想到欧几里得……我都得擦擦满是汗水

　　的前额。”

　　在历史上，对《几何原本》的这么多的赞誉给欧几里得几何体系树立起极大的权威，以至于

　　欧氏几何的一些缺点都被视而不见，或者是信而不疑。例如对于欧几里得的第五公设，许多

　　数学家早已认为不妥，历代试图对它作出更确切的证明，一一失败之后仍是不敢怀疑它的可

　　靠性。直到19世纪初叶，被誉为“数学王子”的高斯已经暗中探索出第五公设截然不同的几

　　何方法，但他还是不敢发表，而害怕被人骂成是亵渎经典的“疯子”。

　　19世纪，对欧几里得第五公设的扬弃终于引起了几何学的大革命。俄国数学家罗巴切夫斯基

　　勇敢地站出来，宣布用新的平行公设取代第五公设，从而开创了新的几何学——罗氏几何。

　　而后又有黎曼几何的诞生，它们通称非欧几何。

　　非欧几何的出现激起人们对几何学研究的更大热情。数学家经多方研究之后发现，非欧几何

　　并没有完全否定欧氏几何，非欧几何更适用宇宙大尺度的物质世界，而在日常小范围空间的

　　件下，欧氏几何已经是足够精确的。19世纪末，德国数学家希尔伯特对《几何原本》作了精

　　心的提炼，使欧几里得几何公理体系更加完善。直到今天《几何原本》中的部分精华，仍然

　　是数学教学中培养学生逻辑推理能力必不可少并有独特作用的内容；人们在造房、建桥、修

　　路等生产实践中，运用欧几里得几何学能比较准确地求得需要进行计算的结果。在我国，最

　　早的《几何原本》中译本，是明末政治家、科学家徐光启翻译的，徐光启认为对此书“不必

　　疑，不必揣，不必试，不必改”，“欲脱 之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前

　　后置之不可得”，给予了高度的评价。当然，随着生产与科学的发展，现在人们对数学的研

　　究，已经有了飞跃的进步，无可否认，产生于2300年前古老的《几何原本》，至今仍还有着

　　它极其旺盛的生命力。

　　《几何原本》直到20世纪初始终还是世界各国的中学数学教科书，仅此一点，可想这本数学

　　名著在其领域和教育上的价值、地位和作用了。