第8章 江恩方阵图的数学基础和物理意义

　　4.1江恩方阵图的数学基础

　　数学上有一对非常有趣的孪生宝贝，那就是黄金分割和菲波那契数列。以下先介绍定义，然后再描绘它们在自然界的表现。

　　黄金分割

　　将一条线段AB用下述办法找出一个分段点C，要求较长段和较短段的比等于全长和较长段的比。换句话说，就是要求比值。即称为黄金分割。

　　古希腊数学家毕达哥拉斯有一句至理名言：“凡是美的东西都具有共同的特性，这就是部分与部分及部分与整体之间的协出三组图中，右边的图要比左边的图来得优美。量一下就知道，右边的图，画的重心大约配置在画面的0.618处。

　　20世纪中叶，德国心理学家弗希纳曾经做过一次别出心裁的试验。他的试验方法是召开一次“矩形展览会”。会上展出了他精心制作的各种矩形，并要求参观者投票选择各自认为最美、最好看的矩形。

　　有意思的是所得四个矩形的长与宽的比例值都接近0.618。而且宽×长的数字也都是菲波那契数列中的数字，如5，8，13，21，34。可见0.618确是一个“黄金比值”。而导致这一比值的分割，便称为“黄金分割”。

　　一个矩形，如果两条边具有黄金比值，则把这样的矩形称为“黄金矩形”。黄金矩形的性质也很奇特，它是由一个正方形和另一个小黄金矩形组成。正是这样一个性质，可以把一个黄金矩形分解成无限个正方形的和。

　　很容易看出，图中大矩形中各正方形的角点形成两条直线。一条是大矩形的对角线，另一条是小矩形的对角线。表明这一系列正方形构成了无穷递缩的等比数列！

　　菲波那契数列

　　菲波那契数列是一种所谓的递归数列：它的每一项是由前面的一个或几个项唯一确定。用递归定义式来定义自然数集上的函数F：

　　F（1）＝1，

　　F（2）＝1，

　　F（n+2）＝F（n）+F（n+1）。

　　这种函数称为菲波那契函数，如果按自然顺序所得函数值的数列F（1），F（2），F（3），F（4），F（5），F（6），F（7），…，亦即1，1，2，3，5，8，13，…称为菲波那契数列。

　　菲波那契（公元约1170~1250年）称得上是12、13世纪欧洲数学界的中心人物了。

　　菲波那契原名比哥罗（LeonardoPisanoBigollo），1170年生于意大利的比萨城。传说正是他第一个采用比较方便的阿拉伯数字出版著作，以取代在他以前的罗马数字。

　　遗憾的是现在对他的生平事迹所知甚少，只知道他曾跟随父亲到过阿尔及利亚经商，并在埃及、叙利亚和希腊求学。他的一本非常有名的著作为《Libeiabbaci》，其中讨论了有名的兔子问题，也就是引出菲波那契数列的问题。

　　兔子问题是这样的，假设每对兔子逐月生一对小兔（雌雄各一），每对小兔两月后也逐月生出一对小兔（雌雄各一）。设年初时在兔房里放上一对兔子，问一年以后可有多少对小兔？

　　令FN为第N个月兔房里的兔子对数，则：

　　F1＝1，F2＝1，F3＝2，

　　F4＝3，F5＝5，F6＝8。

　　从这些尝试里可以推导出这么一个规律：即每一个FN是前面两个FN—2和FN—1

　　之和。原因是FN可以分成两个部分：一部分来自第N—1月初时已有的兔子数，共有FN—1；另一部分来自第N月初新生的兔子数，共有FN—2。根据题意，N—2月初在兔房中的兔子到第N个月初时都能生出一对小兔，因此：

　　FN＝FN—1+FN—2

　　这就得到了菲波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…

　　起初，它的创造者也只是把这一数列看成是一种神奇的数字。令人惊奇的是在近期，人们在研究近亲繁殖的效果时发现了这一数列的一个用处，它可应用到孟德尔的遗传律上去！

　　所谓“生有时，长有序”，在自然界里的万物生长，其模式是否可以用数学语言来描述？

　　炎夏时在树阴下乘凉，我们是否留意过，支撑着茂盛树叶的树干枝茎，其生长有什么特别的规律吗？

　　假设树木有以下的生长模式，数学规律便会跃现于纸上：第一年长出幼茎，第二年幼茎长成粗干，第三年粗干又可生出幼茎……这样的话，幼茎都需要一年的时间长成为粗干；而只有成长的粗干才可分枝长出幼茎。

　　，随着年期长出分枝的数目是：

　　1，1，2，3，5，…

　　若细心观察这些数的关系，便不难发现第三个数是第一个数和第二个数的总和；第四个数是第二个数和第三个数的总和；余此类推，形成了菲波那契数列。

　　在自然界，花瓣数是菲波那契数的花有延龄草、野玫瑰、美洲血根草、大波斯菊等。

　　4.2江恩方阵图的物理意义

　　瑞士数学家伯努利（JamesBernoulli，1654~1705年），死后葬于瑞士第二大城市巴塞尔的明斯特，他的墓碑上刻着一条奇妙的螺线，旁边有一句话：“我虽然变了，但却和原来一样。”此话夸张地表述了螺线的重要性质。如果用数学的语言来说，那就是：“由相似变换的连续群能使它与其本身重合。”熟知的鹦鹉螺的壳以令人惊叹不已上述的对称性非常重要，可以简称为“伯努利对称性”，它将始终贯穿在本节的前后。

　　在立体情况下，三维空间中最为一般的刚体运动是螺旋运动，它是由绕着某一个轴的旋转与沿着该轴的上下平移复合而成的。在一定的连续匀速运动的情况下，任何不在该轴上的一点将会描绘出一条螺线来。一个运动点在相等的时间间隔内将达到一系列的阶段，就好像一座旋转楼梯上的台阶那样，完全是等距离地分布在该螺线上的。如果转动的旋转角度是圆周角360°的一个分数u\/v（这里u和v都是小整数），那么凡是相隔v的点位就会都在同一条垂直线上，而顺着螺线转动u周以后就必然从下面的一个点位到达其上面的一个点位。其实，沿着树枝生长的树叶，也常常呈现这种规则的螺旋排列。这就是所谓的叶序现象，也即是叶、细枝和茎的排列形式。人们已经发现，表示树叶的螺旋状排列的分数u\/v经常是符合菲波那契数列的。

　　如果选择茎上一片叶子，从它开始数（所选第一片不计在内），直到与所选的叶片在同一直线上的叶片为止（假定没有一片叶子折断掉），数到的叶片数经常就是菲波那契数字。在许多植物中都是这样的。

　　顺便说一下，这种叶序现象，从瑞士科学家邦内特（CharlesBonnet）的时代（1754年）起就一直是植物学家作大量考察和研究的课题。

　　就所谓的“伯努利对称性”来说，更为重要和有意思的是螺线缠绕其上的圆柱面也可以用圆锥面来代替。这就是说可以用旋转加伸缩（径向内外）的复合运动来代替单纯的螺旋运动。举例来说，植物中冷杉球果上木质鳞片的排列就属于这一类。这种从圆柱面过渡到圆锥面甚至再过渡到圆盘面的过程是很自然和明显的，在植物界有带叶的植物的圆柱形茎，如冷杉球果的木质鳞片以及带小花的大向日葵管状小花的花序等。