原则十四
还应该把这个(问题)转至物体的真正广延(上去考虑)，并把它通盘提供给想象借助F于单纯形象(去观察)，因为，这样一来，悟性才可以更加清楚得多地知觉它。要借助于想象，必须注意的是：每逢我们从某个原来已知项中演绎出一个未知项的时候，并不是因而就发现了某种新的存在物，只是把整个有关的认识扩展了，使我们得以看出所寻求的事物总是以这种或那种方式涉及命题中已知事物的性质的。例如，设有一人生而盲目，我们就不应该指望依靠任何说理的办法，使他知觉真正的颜色意念，恰如我们从感觉中获知的那样。但是，假如另有一人至少有时见过基本色，虽然从来没有见过中间色和混合色。那么他就有可能自己设想中间色和混合色是什么样子，尽管他没有见过，却可以使用某种演绎，按照与其它颜色的相似去设想。同样，假如在磁石中有某种存在物，我们的悟性并未见过相似者，我们就不应该希望多少有点可能通过推理去认识该物；因为，要能这样，我们必须或者具备某种新的感官，或者禀赋着一种神圣心灵；然而，人类心灵在此问题上所能做到的一切，我们会认为自己是能够做到的，既然产生与这种磁石相同效应的混合物或已知物的混合，已为我们十分清楚地觉知。
诸如广延、形象、运动这类已知存在物，这里不及一一列举。凡此种种虽存在于不同主体中，它们之被获知却都是通过同一意念：一顶王冠，无论是银子做的，还是金子做的，我们想象其形象都不会不同，这种共同意念从一主体转移至另一主体，不会以其它方式，只会通过单纯比较，我们就是用这种比较来肯定所询问的事物与某一既定项构成什么关系：相似或对应或相等的关系。因此，在任何推理中我们准确辨认真理只是通过比较。例如这一推理：凡A皆为B，凡B皆为C，因而凡A皆为C，我们就是把所求和既定，即A和C，按照二者皆为B的关系来加以比较的，等等。但是，前面已多次提醒，三段论各种形式对于知觉事物真理毫无助益。既然如此，读者最好是把它们统统抛弃，然后设想：绝对而言，凡不能凭借对单一事物的单纯直观而获得的认识，都是通过两个或多个项互相比较而获得的。当然，人类理性的奋勉努力几乎全在于为进行这一比较作准备，因为只要这种比较是公开的、完全单纯的，就不需要人工技巧的任何协助，只需借助于天然光芒，就可以直观这一光芒所获知的真理。
必须注意，所谓简单而公开的比较只指这样的场合：所求和已知共具某一性质；至于其它一切比较，则不需要任何准备，除非是由于这种共性并不同样存在于所求和已知之中，而是始终以隐蔽的形式存在于某些其它对比关系或比例之中；人的奋勉努力主要不是用于别处，只是用于归结这些比例，使我们得以清清楚楚看出所求和某种已知是相等的。最后还要注意，归结为这种相等关系的只能是可以容纳最大和最小可能的事物，我们把一切这类事物用量这个词来概括，因此，在按照前一条原则从任何问题中把困难各项抽象出来以后，我们就不要考虑其它，而应该仅仅以一般量为考察对象。
不过，为使我们在这样的时刻还想象某个事物，而且不是运用纯悟性，而是运用幻想中描绘的形象所协助的那种悟性，还要注意的是：一般量，要是不特别与任何一种形象相关联，就谈不上什么一般量。由此可见，如果把我们所理解堪称一般量的事物，转化为可以在我们想象中最容易最清晰加以描绘的那种量，我们将获益匪浅。那就是物体的真正广延，它是存在为形象的，除形象外抽象掉了其它一切。从原则十二中引申出来的结论正是如此，既然在那一原则中我们设想，幻想本身连同其中存在的意念，无非是真正有广延的、存在为形象的真实物体。这一点也是不言而喻的，既然以任何其它主体都不能使人更清楚地看出各种比例之间的一切区别，那么，虽然可以说一事物比另一事物白或不白，这个声音比那个声音尖或不尖，等等，我们却无法确定两者究竟是相差一倍、两倍……除非与存在为形象的物体之广延有某种相似之处，因此，完全确定的问题几乎不包含任何其它困难，只有一个困难，就是如何把比例发展为相等关系；凡是恰恰存在这种困难的事物，都可以而且应该容易地同任何其它主体相区别，然后把它转移为广延和形象。为此，直至原则二十五之前，我们将仅仅论述广延和形象，而略去其它一切考虑。
我们愿意希望有哪位读者喜欢研究算术和几何，虽然我宁愿他还没有涉猎过此道，不要像一般人那样所谓已经精通，因为，运用我在这里将叙述的各条原则，就完全足以学会这两门学科，比学习任何其它问题要容易得多。这种运用用处极大，可以使我们达到高度的智慧。因此，我可以放心大胆地指出：前人从未借助于数学问题(的研究)而发现我们的方法的这一部分，然而，我要说，现在的人学习数学几乎正是应该为了发扬这部分方法。对这两门学科，我要假定的不是别的，也许只不过是某些不言而喻的、大家有目共睹的(因素)；然而，一般人对于这些因素的认识，即使没有被任何错误公然败坏，却由于若干不太正确的、构想不妥当的原则而模糊含混，下面我们尽力逐步予以纠正。我们所说的广延，指的是具有长、宽、深的一切，不问它是实在物体，还只是一个空间，也似乎无需作更多的解释，既然我们的想象所能觉察的最容易莫过于此。然而，正因为饱学之士往往剖微析缕，以至自发的(理性)光芒消散，甚至在农民也绝不是不懂的事物中也发现了晦暗模糊之处。我们必须提醒他们，这里所说的广延，并不是指任何有别于、孤立于其主体的什么东西。一般说来，我们并不知道有任何这类哲学存在物不属于想象所及的范围。因为，即使曾经有人相信，例如，自然界中具有广延性的一切都可归结为乌有。他也不可能排斥广延本身是确实存在的，尽管这样，他还是不会使用具有形体的意念来构想广延的，而只会使用会作出错误判断的悟性，这是他自己也会承认的。如果他仔细思考他那时将竭力在幻想中构造的那种广延形象本身，事实上，他将注意到，他对它的知觉并不脱离任何主体，他对它的想象却不同于他的判断。因此，无论悟性对于事物真理如何设想，这些抽象物在幻想中的形成绝不会脱离它们的主体。
但是，今后我们的论述将无一不依靠想象的协助，既然如此，值得我们慎重区别应该通过怎样的意念来向悟性提出这样或那样的词义。因此，我们提请考虑以下三种说法：广延占据空间，物体有广延，广延不是物体。
第一种说法表明：人们以为广延就是有广延性之物，因为，如果我说广延占据空间，这同我说有广延性者占据空间，心目中的想法是完全一样的。然而，如要避免模棱两可，使用有广延性的说法并不较好，因为它没有足够明确地表示出我们心目中的想法，即，某一主体由于有广延性而占据某一空间；会有人把有广延者即是占据某一空间的主体，仅仅理解为我说的是有生命者占据某一空间。这个理由就说明了为什么我们说：下面论述的是广延，而不是有广延性者，虽然我们认为对广延的想法应该同有广延性者一样。
现在来谈这句话：物体有广延。这里我们的意思是，广延意味着物体之外的东西；尽管如此，在我们的幻想中我们并不形成两个彼此有别的意念：一个是物体意念，另一个是广延意念，只是形成一个单一意念；有广延性的物体；如果我说物体有广延，更确切些说，有广延性者有广延，从事物方面而言，说的并不是任何其它。仅仅存在于另一物中、脱离主体就绝对不可设想的这类存在物的特点正是这样。而那些真正有别于它们的主体的存在物则是另一种情况，例如我说彼埃尔有财富，彼埃尔意念是与财富意念截然不同的；同样，如果我说保罗富有，我所想象的与如果我说富人富有完全是两码事。有些人不区别这一不同，错误地以为广延中包含着某种有别于有广延性的东西，犹如保罗的财富不等于保罗。
最后，如果我们说广延不是物体，这时，广延一词被赋予的含义是与以前完全不同的。这种含义下的广延一词，在幻想中并没有任何特殊意念与它对应。但是，这一说法完全是由纯悟性提出来的，而纯悟性的唯一功能只是把这类抽象物(从主体)分离出来。这样，好些人就可能犯错误了，因为他们不懂得要是这样看待广延，想象是无法理解它的，于是，他们就以实在的意念来设想它；既然这种意念必然掩盖着物体概念，如果他们说这样设想的广延不是物体，他们就不慎自相矛盾了，即，同一事物既是、又不是物体。非常重要的是区别这样的一些说法：例如，广延或形象不是物体，数不是被数之物，面积是物体的终极，线是面积的终极，点是线的终极，单位不是数量，等等。在这些说法中，广延、形象、数、面积、线、点、单位等等，含义十分狭窄，以至于这些名词排斥了它们其实无从摆脱的某种东西。所有这些命题以及其它一些类似命题都应该完全同想象无关，虽然它们是真实的。因此，下面我们将不予论述。
还必须认真注意，在一切其它命题中，这些名词虽然保持着同样的含义，虽然我们同样说它们是从其主体抽象出来的，它们却并不排斥或否定任何并无真正区别使之脱离主体的东西。在这样的命题中，我们可以而且应该运用想象的协助，因为，这时即使悟性仅仅集中注意于词义所示，想象却必须构造出事物的实在意念，同一悟性才能够转向用语所没有表达的其它条件，——如果习俗要求如此，如果悟性不轻率地判断用语中已经排除了这些条件。比方说，关于数，有这样一个问题：我们想象某一主体可以用若干单位来度量，这时悟性尽可以仅仅思考该主体的多数，但我们仍应当心，不要使悟性随后得出结论，以为已从我们的概念中排除了被数之物——就像这种人一样，他们赋予数以种种惊人神秘、纯粹愚蠢的妙处。这种种美妙，如果他们不设想数独立于被数物，他们自己肯定也不会相信的。同样，在研究形象时，我们要这样想：研究的是有广延的主体，对它的设想根据的只是它存在为形象；如是物体，我们就这样想：研究的是同一主体，但作为长、宽、深来研究；如是面积，设想同一主体，但作为长和宽而略去深，但也不否认主体可能有深度；如是线，只作为长；最后，如是点，设想同样，但略去一切，只除了它是一个存在物。
尽管我在这里详尽作出这种种演绎，世人的思想却一向成见很深，所以我还是担心，会有极少数人对于这一部分(方法)自信极有把握，不会有犯错误的危险。他们会觉得在这样一大篇论文中我的见解解释得太简略，因为，即使算术和几何这两种技艺，虽然是一切技艺中最可靠的，在这里还是会使人上当受骗的。有哪个计算家不认为，不仅仅需要运用悟性把他的数字从任何主体抽象出来，还需要运用想象把数与主体实际上区别开来呢?有哪个几何学家不是由于自相矛盾的原则，把原本明确的研究对象搞得混乱。例如，他一方面认为线是没有宽度的，面是没有深度的，另一方面却用线来组合面，以为线的移动就产生面，却没有注意到线就是一个实在物体，而没有宽度的线只是物体的一种方式，等等。但是，为了避免尽述这些错误而徒事耽搁，为求简略起见，我们应该陈述的是，我们认为应该如何设想我们研究的对象，才可以关于该对象，尽可能简单明了地证明与算术和几何相关的全部真理。
因此，我们在此考察任一有广延的对象时，丝毫也不考虑它的除广延本身以外的其它，同时通过奋勉努力避免使用数量一词，因为某些哲学家过于细致，把数量也同广延区别开来。然而，我们认为一切问题都可以归结到这样的程度：只要求认识某种广延，不必涉及其他；这样，就可以把这一广延同某个已知广延相比较。因为，事实上，我们在这里并不指望认识任何新的存在物，我们只是想把无论多么错综复杂的命题都归结到这种程度，找出同某个已知相等的未知；肯定无疑，比例与比例之间的差异，即使存在于其它主体，也可以在两个或多个广延之间发现；因此，为达到我们的目的，只需在广延本身中考虑有助于陈述比例差异的一切，而比例差异仅仅有三，即维、单位和形象。
所谓维，指的不是别的，而是我们认为某一主体之所以可度量的方式和原因，因此，不仅长、宽、深是物体的维，主体赖以有重量的重力也是维，速度是运动的维，诸如此类以至无穷。因为，或真实分割，或仅仅在心灵里分割为若干等份，这种分割本身就是我们对事物进行计数所根据的维。造成数的这一方式，就被相应地称作维品，虽然这一用语的含义还有某些分歧。假如我们依照各部分对比整体的秩序来考虑各部分，那就可以说我们是在计数；相反，假如依照整体之分布于各部分来考虑整体，则是在度量整体。例如，我们以年、日、时、刻来度量世纪；但是，假如我们对刻、时、日、年进行计数，我们最终将达到世纪。
由此可见，同一主体可以有无穷无尽的各种不同的维，它们对被度量物并不增添什么；然而，各种不同的维，即使在主体本身中有真实依据，我们对它们的领悟，仍然相同于我们经心灵选择、通过思维把它们构造而成。因为，物体的重力，或运动的速度，或一世纪划分为年和日，都是某种真实物，而日划分为时和刻则不是。尽管如此，这一切，假如像我们在这里必须做的和在数学各分科中必须做的那样，仅仅依据它们的维予以考虑，它们的表现则是一样的；研究它们的根据是否真实，这事实上更多的是物理学家的事情。
我这段议论对于几何学有重大启发作用，因此差不多所有的人都错误地以为几何学中有三种量：线、面、体。因为上面已经说过，线和面作为概念并不是真正独立于物体的，也不是两者互不相涉的，因为如果把它们单纯看作悟性所抽象之物，它们并不是种类不同的实质。顺带必须指出，物体的三维：长、宽、深，互相之区别只在于名词，因为，在任何前提下，没有什么禁止我们选择任意广延为长度，选择另一广延为宽度，等等。尽管这三者在单纯被视为广延的任何广延物中有真实依据，我们在此也并不比无数其它事物予以更多的考虑，无论它们是由悟性构造而成的，还是在事物中有其它依据：例如对于三角形，我们要完善地加以度量的话，就必须知道该事物的三项，即或者三边，或者两边加一角，或两角和面积，等等；在任意四边形中，必须知道五项，四面体中，必须知道六项，等等；即一切可称为维之物。但是，为了在这里选择对于我们的想象最有助益的事物，我们注意所及绝不会超过一两个，把这一两个同时在我们的幻想中加以描绘，即使我们知道这个命题中存在着任意数量的其它事物，因为，我们的这一技艺(的一个效果)，是尽可能多地区分事物，从而使我们同时考察的事物数量极少，而是逐一统统加以考察。单位，就是前面所说一切互相比较之物应该同样具有的那种共性。除非所涉及的问题中有已经确定了的单位，否则我们可以把已知量中的任一量，或者其它量，当作单位，用它来作为一切其它量的共同尺度；该单位中的维数与我们必须比较的首尾两项中的维数相等，而我们对该单位的设想，或者是单纯作为从其它任何抽象出来的某种广延物，那么它将与几何学家用点的移动来构成线的那种点一样，或者是作为某一线，或者作为一个正方形。
于形象，前面已经说过，仅仅是凭借它们才得以构成一切事物的意念，在此只需提醒一下，在不可胜数的各种形象之中，我们将只运用两种，能够最容易表现对比之间或比例之间一切差异的两种。只有两种事物是可以互相比较的，即多少和大小，因而我们也有两类形象用以呈现多少和大小于我们的概念。简言之，用来指示一个三角数的点∴，或说明某人出身的世系，等等，就是表示多少的形象；而连续的未分割的形象，例如△和，就是表示大小的。
现在，为使我们得以陈述在这一切形象中我们在此将利用哪些，人们必须知道，可以在同一类两事物之间存在的一切对比关系，必定涉及两个类别，即秩序和度量。此外，还必须知道，如要通过思维建立一种秩序，需要的奋勉努力不会是极小的，从我们的方法中自始至终这一点均可清楚地看出，因为我们的方法所教导的大抵只是这个(道理)。相反，找到了这个秩序之后，要认识它就不困难了。我们遵循原则七就可以很容易地逐一通观心灵有秩序地安排的各个部分，因为在这类对比关系中各事物自己互相关联，无需像度量中那样以一个第三项为中介，因此我们在此将仅仅阐述度量。例如，我认识得出A和B之间有何秩序，是并不需要考虑其它的，只要考虑首尾两项就行了。但是，我认识不到2和3之间量的比例，如果不考虑第三项，即单位，它是两者的共同尺度。
也应该知道，以一个借用单位为中介的连续量(大小)，有时可以统统地——永远可以至少部分地——归结为数(多少)；而单位的多少也可以随之安排成这样的秩序，使得认识度量方面的困难，归根到底，仅仅取决于对秩序本身的观察。我们这一技艺的最大优点正在于促成这一进展。
最后，还应该知道，连续量的各维之中，构想起来最清晰的莫过于长和宽；在同一形象中要是想比较两维，那就不要一下子注意多个维，因为我们的技艺要求的是：如果我们必须比较二以上的多维，我们就依次通观，一下子只注意两个维。
上所述，不难得出结论：从几何学家所研究的形象——如果问题涉及它们中抽象出命题来，这应该不亚于从任何其它题材中抽象出命题来；为此需要运用的无非是直线所构成的面，直线图形和长方图形，因为如前所述，通过它们我们可以想象任一真正广延的主体，并不亚于通过面去想象；最后，通过这些形象，应该或者表现某种连续量，或者表明多少(即数)。要表明一切比例差异，人类奋勉努力所能发现最简单的莫过于此。
原则十五
描绘这些形象，把它们对我们的外在感觉显示出来，使我们能较为容易地集中思维，这在大部分时间也是有用的。应该怎样描绘，才能够使这些形象呈现于我们眼底时，其种类更清晰地形成于我们的想象之中呢?这是不言而喻的。首先，我们可以有三种方式描绘单位：用一个，如果我们把它当作有长和宽的广延来对待；或者用一根直线——，如果我们仅仅从长度予以考虑或者用一个点，如果我们只把它当作组成多少者来看待。不过，无论人们怎样描述和设想，我们总是认为，它在任何情况下都是一个有广延的、能够有无数维的主体。任一命题的各项也是这样。假如必须一下子注意各项的两个不同量，我们就用一个长方形来表现。长方形两边即为所设两量，如下所示。假如该两量是用单位所不可度量的，或者用，或者用；假如它们是可度量的，如果不涉及多个单位，答案也就尽在这里了。如果我们只注意各项的一个量，我们将用两种形式描绘直线；或者用一个，它的一边即为所设该量，另一边为单位，即这样的形式，每逢必须把同一
线与某一面比较时都是这样；或者只用长度，像这样——，假如只把它当作不可度量的长度来看待，或者像这样……假如是多个(单位)。
原则十六
至于心灵观察时无需加以注意的事物，即使为作结论所需，与其使用完整形象，不如使用十分简略的符号来标志，因为，这样的话，就不会由于记忆不好而失误；另一方面，当思维致力于演绎出其它事物时，也不至于分散注意去记住这些。此外，我们已经说过，我们用幻想可能描述的维是无数的，因此，无论是用眼睛，还是用心灵，都不应该一次观察两个以上的不同维，我们必须记住一切其它维，使得每逢由于使用而有需要时就可以容易地予以呈现；自然创造记忆，似乎正是为了这个目的。但是，既然记忆时常会出差错，为了不至于当我们致力于其它思维的时候，被迫分散一些注意力去保持记忆新鲜，人工技艺极为恰当地发现了使用书写符号；书写符号给我们的帮助是有保证的，所以我们不必把额外负担交付给记忆，只需把幻想自由地完整地委之于呈现的意念，同时在纸上把一切必须记住的东西描述下来；这就必须使用十分简略的符号，这样，在按照原则九清清楚楚地考察了每一事物之后，才可以遵循原则十一以一次迅速的思维运动统统予以通观，一次尽可能多地察看之。
凡为解决一个困难而必须看作一的，我们都用慎重制定的一个单一符号来表示。但是，为求更方便起见，我们用字母a b c等表示已知量，用A B C等等表示未知量。在它们前面往往标上数字2，3，4等等以示其乘积，还可以加上数字表示应该知道的积分数，例如我写2a３，就是说，字母a 三乘方所示量的两倍。通过这样的奋勉努力，我们不仅仅压缩了许多言词，而且主要的是：我们还把各困难项显示得一清二楚，毫不略去任何有用的东西，其中却绝对没有多余的东西，在思维正应当一下子概括许多事物的时候，徒然耗费心灵的能力。为了更清楚地理解这一切，首先应该注意，计算家的习惯是：或者用若干单位，或者用某个数字表示每一个量，但是，在这种场合，我们是把数字本身抽象化，正如前面我们把几何形象抽象化，或把随便什么别的事物抽象化一样。我们这样做，既是为了避免由于冗长多余的计算而厌烦，也是——主要是为了使涉及困难的性质的主体各部分始终显示得清清楚楚，而不必用不必要的数字去徒增累赘。比方说，直角三角形已知两边为9和12，求其底，计算家会说，底为，即15；至于我们，则不说9和12，而是写上a和b，然后发现底为a2+b2a2和b2这两部分始终显示得清清楚楚，而在数中却是模糊的。
还必须注意，所谓乘方数，指的是连续系列中前后相继的比例，有些人曾经在普通代数学中用若干维来表示，他们称第一次乘方为根，第二次为，第三次为立方，第四次为再立方，等等。我承认，这些名词曾经长期使我上当受骗，因为，我当时觉得，自直线和方形以下，最能清晰地呈现于我的想象的，莫过于立方形和其它诸如此类的图形。固然，在它们的帮助下我也曾在相当程度上解决了一些困难，但是，屡经试验之后，我终于理解到，以这种构想方式，我从没有发现任何东西是我不用这种方法就无法甚至更容易更清楚地认识的；我还理解到，当初就应该完全抛弃这些名词，免得它们扰乱(我们的)概念，因为，同一量，无论称为立方也好，再立方也好，绝对不会以其它形式，必定会依据前一原则以线或面的形式，呈现于想象。因此，尤其应该注意，根、平方、立方等等，无非是一些成连比的量。其前，我们假定始终缀有前面说过的取来的那个单位：对此一单位，第一比数以单一积方直接对比；但是，第二比数，则通过第一比数，从而以二积方对比；第三比数，通过第一和第二，以三积方，如此等等。代数上称为根的那个量，今后我将称为第一比数；称为的，则称之为第二比数，照此类推。
最后，还必须注意，即使我们在这里把困难各项从某些数字抽象出来，以便研究困难的性质，还是经常会碰到这样的情况：对于既定数，可以采取比把它抽象出来的办法更为简单的办法解决其中的困难。所以会有这样的情况，是由于前面已经谈到的那类数字有双重用途，即，同一数字有时表示秩序，有时表示度量。惟其如此，在竭力用一般项表达困难之所在以后，还应该把困难的性质还原为既定数，看看它们是否也许会给我带来更为简单的解决办法。简言之，在看出直角三角形一边为a，另一边为b，其底则为a2+b2之后，应该写上81代替a2，144代替b2，其和为225，它的根，或者说单位和225之间的比例中项为15；由此可以看出，底15对于边9和12是可以通约的，但并不是泛泛而言，由于它是边与边之比为3比4的一个□角△形的底。无论我们区别什么事物，要求的都是明显清晰地认识事物，而不是像计算家那样，满足于得出所求数，即使他们丝毫不注意该数如何取决于既定项，而真知恰恰是仅在于此。
不过，一般还要注意这样一点：无需持续注意的事物，只要我们能够记录在纸上，就绝不要委之于记忆，这就是说，免得不必要地记住一些东西而分散我们的注意力，以至不去集中心智认识眼前的对象。应该制定一个表，把问题的各项，照它们初次提出的样子记录在内，然后载明它们是怎样抽象出来的以及用什么符号代表它们，以便在符号本身中找到解答以后，我们可以不依靠记忆，也同样容易地用之于当前问题所涉及的特殊主体。事实上，绝对没有任何事物不是从一个不那么泛泛的项中抽象出来的。因此，我将这样写：求□角△形ABC的底AC，我把困难抽象出来，以便一般地从两边之量求底，然后，我写下a代表AB(AB为9)，写下b代表BC(BC为12)，如此这般。还要注意：我们在本论文第三部分中还要运用这四条原则，将比这里的说明论述得更详尽些，在适当的地方再说吧。
原则十七
应该直接通观所提困难，撇开有些项已知、有些项未知而不管，用若干次真正通观去察看它们是怎样互相依存的。上述的四条原则已经教导：必须怎样从每一主体把某些充分领悟的确定困难抽象出来，把它们加以归结，使人们以后不必再寻求其它，只需竭力认识某些同其它已知量有这样或那样比例关系的量。现在，在以下五条原则中，我们将陈述：必须怎样归结这些困难，才使得未知量无论在某一命题中有多少，统统可以彼此从属，而且使得第一量对单位之比，也就是第二量对第一量之比，第三量对第二量之比，第四量对第三量之比，这样连比下去，无论这些量有多少个，它们都构成一个总数，相等于某一已知量。这样做的时候，必须使用确定无疑的方法，使我们能够绝对有把握，保证奋勉努力所能归结为最简单项的莫过于此。
不过，至于本原则，必须注意，对于任何要用演绎解决的问题，都存在着无阻拦的直接途径，遵循之即可比其它途径更易于从某些项达到其它项，而一切其它途径都更为艰难而且间接。为了好好领悟这一点，我们应该记住：原则十一陈述了各命题，如果每一个都同最近命题相关联，彼此的联系会是怎样的情况，由此显而易见，最初的命题与最后的命题有怎样的关联，反过来说也是这样，即使我们不能同样容易地从中 间各项演绎出首尾两项。因此，如果我们在直观各命题依据怎样的从不间断的秩序互相依存时，能够推论出最后命题是怎样取决于最初命题的，那么我们就是直接通观了困难之所在；但是，相反，如果我们已经认识最初命题和最后命题互相以怎样的方式密切联系，想从中演绎出联结它们的各中项是什么，那么我们依据的是某种完全间接的相反秩序。然而，因为我们在这里研究的只是隐蔽的问题，即，必须依据某种混乱的秩序，从已知首尾两项去认识某些中间项，所以这里的全部技巧只在于：假定未知事物为已知事物，使我们能够准备一条容易而直接的道路，即使困难是极其错综复杂的。这一点是永远成立的，既然我们从这一部分一开始就已假定：我们承认任一问题中仍然未知者对于已知者有某种依赖关系，以至于仍然未知者为已知所决定；因此，如果当我们发现这种决定关系的时候，我们思考首先呈现的那些事物，只要我们把其中的未知当作已知，从中逐级用若干次真正的通观，演绎出即使已知的其它，仿佛它们是未知者，那么就是实现了本原则的规定。这方面的例子留待以后再说，正如我们以后在原则二十四中将要谈到的某些事物那样，留到那里去说更为方便。
原则十八
为此，仅仅要求四则演算：加、减、乘、除。后两项在此不会经常提到，这既是为了避免不慎造成混乱，也是因为以后完成可能更容易些。原则繁多是由于博学鸿儒的无知。可以归结为一个单一的一般准则的各项要是被分割为若干特殊项，就不那么一目了然了。因此，我们把用于通观问题的，就是说，从某些量推演出其它量的一切演算，仅仅归纳为四则。为什么这就够了，从各该说明中可以得知。有如下述：如果我们要从各组成部分得知一个惟一量，那就要用加法；如果我要从整个中识别一个部分，以及整体对这一部分的剩余，那就要用减法：以任何其它方式，任一量都不能从以某种方式包含该量的某些其它绝对量中推演出来。但是，如果要从不以任何方式包含某一量的、与该量绝对不同的其它量出发找出该量，那就一定要使该量同它们按照一定比率发生关系：这种对比关系的进行如果必须是直接的，那就得用乘法；如果是间接的，就用除法。
为了清楚地陈述后二者，必须知道，我们已经谈过的单位，在此是一切对比关系的基础和根据，这在成连比的量中占第一次，既定各量被包含在第二次中，所求各量在第三次、第四次等等之中，如果比例是直接的；如果比例是间接的，所求量被包含在第二次和中间各次中，既定量在最后次中。
因为，假定我们说，单位之于a(即已知5)，正如b(即已知7)之于所求ab(即35)，那么，a和b属第二次，其积ab属第三次。同样，假定我们又说，单位之于c(即9)，正如ab(即35)之于所求abc(即315)，那么abc属第四次，它产生于属第二次的ab与c两乘，照此类推。同样，单位之于a(5)，正如a(5)之于a2(25)；从而单位之于a(5)，正如a2(25)之于a3(125)；最后，单位之于a(5)，正如a3(125)之于a4(625)，等等，乘法之进行无非是：同一量被同一量导引，或者任一量被任一完全不同量导引。
但是，现在假定这样说，单位之于a(即已知除数5)，正如所求B(即7)之于ab(即已知被除数35)，那么秩序就被扰乱了，(成了)间接的：因此，所求B之得出，只能够用已知a除也是已知的ab，同样，假定我们说，单位之于A(即所求5)，正如A(即所求5)之于a2(即已知25)；或者，单位之于A(即所求5)，正如A2(即所求25)之于a3(即已知125)，如此等等。我们以除法这个名词包括的一切事物，虽然必须注意这类事物的最后一些所包含的困难大于最初一些，因为其中常有因而掩盖着若干比例关系的所求量。因为，上述各例的含义等于是说：求a2(即25)的平方根，或a3(即125)的立方根，如此等等。而这正是计算家流行的说话习惯。不过，要是用几何术语来说，那就等于是说：求所取量(即称为单位的那个量)和a2所示之量之间的那个比例中项，或求单位和a3之间两个比例中项，照此类推。由此容易得出结论：这两种演算是怎样足以找出按照一定比例关系从某些其它量推演出来的任何量。既然如此，接下去，我们就要陈述必须怎样把这些演算重新交由想象去检验，必须怎样使它们让眼睛看得见，从而使我们最终得以阐述它们的运用或Praxis。
但是，假如除法中，除数并非已知，只是用某种比例关系表示的，比方说求平方根或立方根等等，那么必须注意，应该把被除数和一切其它项设想为存在于一系列连比之中的线，其中第一道线为单位，最后为被除数。(至于)如何也求得被除数和单位之间任意数量的比例中项，我们将在适当的时候谈到。现在只要指出以下一点就够了：我们假定在这里还没有解决这类演算，因为这是必须运用间接的深思熟虑的想象才能够做到的。现在论述的只是应该直接通观的若干问题。
涉及其它演算时，这种问题固然很容易用我们已经说过应该如何予以设想的方式加以解决，但是，仍然必须说明应该如何准备各个项，因为，即使当我们开始研究某个困难的时候，可以随意设想各项为线或为矩形，正如原则十四所说，无需归之于其它图形，但是，常有这样的情况：一个矩形，在两直线相乘得出之后，很快就不得不设想为另一直线来进行另一演算；或者，同一矩形，或由某一加法或减法所得一直线，很快就不得不设想为另一矩形，即，用作为除数的已知直线构造而成的另一矩形。
因此，值得在此陈述，任何矩形怎样可以转化为一直线，相反，一直线、甚至一矩形又是怎样转化为一边已知的另一矩形。对于几何学家，这是十分容易的，只要他们注意：每逢我们像这里这样把直线同某一矩形相比时，对所说直线的设想总是矩形，其一边被我们当作单位的长度。这样一来，整个的事情就归结为这样一种命题了：设有一矩形，求构造另一矩形与它相等，一边为已知。虽然学几何的儿童也懂得，我还是要阐述一番，以免显得忽略了什么。
原则十九
应该运用这种推理方法，寻求在同一数中表现为两种不同方式的量，使我们假定未知项为已知，以便直接通观困难：这样的话，我们就可以在两个相等项之间进行同等数量的比较了。
(原文只有命题，没有阐述。)
原则二十
方程式一旦找到，就应该把原来略去的演算完成，每逢不需要用除法时，绝对不要用除法。(原文只有命题，没有阐述。)
原则二十一
这类方程式如有几个，就必须把它们统统归结为单一的另一个方程式，即，各项在必须据以安排成秩序的连比的量系列中占据最小次的那种方程式。
www.XIAOshuotxt。NET