第二章 数字的丰富含义(2)

    古典数学家只认可他所看到的和能把握的东西的存在。他所思考的内容就是那些明确的，可下定论的东西。一旦条件改变，他的结论就无立足之处了。西方数学家如果能够摆脱古典偏见的束缚，也就是超越简单的实体的存在景象，就能进入一个完全抽象的领域。那时，他们就不再局限于长、宽、高这样的有限的三度空间，而是处于无限多维的n度空间。古典的数仅限于整数和实数，因此自然而然地同有形体的人的诞生联系在一起。在古典人看来，数字1不是一个实际的数，而是始基，是一切真正的数的开端，因而也是一切量、度量和物质性的开端。在毕达哥拉斯学派看来，数字1的图形象征母体子宫，是所有生命的源泉。第一个真正的数是2，即双重的1，因此，它和男性原则有关。数字3指男人和女人的结合，它所代表的是繁殖的行为，因而是一个神圣的数，它的符号就是前两者的结合。古典文化中，凡是不可见的东西都不存在，渐渐地它成了只关注小型的文化。

    其次，古典数学重比例，西方数学重函数。在古典数学中，数量之间的联系被用比例关系表达，比例的观念也可视为古典文化的象征；在西方数学中，数量之间的联系用函数关系表达，函数的观念也可视为西方文化的象征。比例和函数的观念不只局限于数学领域，它们在雕塑和音乐这两个相关的艺术领域也很重要。例如，古典世界中，雕像、浮雕、壁画等典型的古典艺术形式中尺度的扩大与缩小，就是比例观念的运用。函数不是意味着对先前存在的任何数字观念的扩展，而是对它的彻底摆脱。作为函数的内容和特征，群的转换在音乐中的突出表现就是变奏曲，它是18世纪最美妙的一种管弦乐形式。前面提到的古典的数与实体联系密切，这也可视为古典数学与西方数学的不同。也就是说，古典数学研究有限的事物，处理具体的个案；西方数学研究无穷性，处理各种形式的可能性，如运算、方程式、函数、曲线群等，所关注的是它们的进程而不是结果。此后，西方数学的思想内涵都集中到对于无穷无尽的探求上，即集中到浮士德式的极限问题上，极限理论的本质就是过程和运算。从历史的角度看，几何学是脱离日常经验的视觉范畴而产生的，代数是脱离了量的观点而产生的。二者在函数论的结构中找到了结合的方式，由此超越了几何原有的图形的局限，以及代数原有的数量的所有基本局限。可以说在从代数到几何再到函数的发展过程中，西方数字思想经历了一番不平凡的进程。但是，它的顶峰也就意味着它走向衰亡的转折点。

    公元前540年左右，毕达哥拉斯等人发明了古典文化自身所独有的数，也就是那种可以度量的量，我把它称为阿波罗式的数。而笛卡儿及其同时代的帕斯卡尔、费马等人发明了西方文化中作为关系的数，这一概念最终集中到极限问题上，我把它称为浮士德式的数，这是一个颇具历史意义的进步。大约1800年以后，也就是高斯、黎曼等人提出新的数学理论后，浮士德式的数耗尽了其每一种内在的生命可能性，完成了它的使命。与阿波罗式的数的命运一样，浮士德式的数在繁荣了三个世纪后，随着西方文化步入大都市文明而走向了衰亡。